数据结构考研复习第一章绪论

数据结构的基本概念

基本概念和术语

1. 数据
   数据是信息的载体，是描述可观事物属性的数、字符及所有能输入到计算机中并被计算机程序识别和处理的符号的集合。
2. 数据元素
   数据元素是数据的基本单位，通常作为一个整体进行考虑和处理。
3. 数据项
   数据元素的组成，数据元素可由若干个数据项组成，数据项是构成数据元素的不可分割的最小单位。
   例如：学生记录是一个数据元素，它由学号、姓名、性别等数据项组成。
4. 数据对象
   数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。
5. 数据类型
   是一个值的集合和定义在此集合上的一组操作的总称：
   （1）原子类型：其值不可再分的数据类型。
   （2）结构类型：其值可以再分解为若干成分（分量）的数据类型。
   （3）抽象数据类型：抽象数据组织及与其相关的操作。
6. 抽象数据类型
   抽象数据类型（ADT）是指一个数字模型及定义在该模型上的一组操作。其定义仅取决于它的一组逻辑特性，而与其在计算机内部如何表示和实现无关。通常用（数据对象，数据关系和基本操作集）等三元素表示。
7. 数据结构
   结构：数据元素相互之间的关系。
   数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
   包括：逻辑结构、存储结构和数据的运算。
   逻辑结构和数据结构是密不可分的，算法的设计取决于所选定的逻辑结构，而算法的实现是依赖采用的存储结构。

数据结构的三要素

1. 数据的逻辑结构
   数据结构是数据元素之间的逻辑关系，即从逻辑关系上描述数据。
   分大类为：线性结构和非线性结构。
   分小类为：
   集合：结构中的数据元素除“同属于一集合”的关系外，别无其他关系。
   线性结构：结构中的数据元素之间只存在一对一的关系。
   树形结构：结构中的数据元素之间存在一对多的关系。
   图状结构或网状结构：结构中的数据元素存在多对多的关系。
   

2. 数据的存储结构
   是指数据结构在计算机中的表示（又称映像），也称物理结构。分类：
   （1） 顺序存储：把逻辑上相邻的元素存储在物理位置上也相邻的存储单元中。
   优点：可以实现随机存取，每个元素占用最少的存储空间；
   缺点：只能使用那个相邻的一整块存储单元，因此可能产生较多的外部碎片。
   （2） 链式存储：不要求逻辑上相邻的元素在物理位置上也相邻，借助指示元素存储地址的指针来表示元素之间的逻辑关系。
   优点：不会出现碎片现象，能充分利用所有存储单元；
   缺点：每个元素因存储指针而占用额外的存储空间，且只能实现顺序存取。
   （3） 索引存储：建立附加的索引表。索引表中的每项称为索引项，索引项的一般形式是（关键字、地址）。
   优点：检索速度快；
   缺点：索引表会占用较多的存储空间。在对数据操作时，需要修改索引表，因而会花费较多的时间。
   （4） 散列存储：根据元素的关键字直接计算出元素的存储地址，又称HASH存储。
   优点：检索、增加和删除结点的操作都很快；
   缺点：散列函数的选择有误，可能导致元素存储单元的冲突，而解决冲突会增加时间和空间开销。

3. 数据运算
   运算的定义和实现。
   定义：针对逻辑结构，指出运算的功能；
   实现：针对存储结构，指出运算的具体操作步骤。

算法和算法评价

算法的基本概念

1. 定义：对特定问题求解步骤的一种描述。
2. 5个重要特性：
   （1）有穷性：一个算法（对任何合法的输入值）必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成。
   （2）确定性：算法中每条指令必须有确切的含义，读者理解时不会产生二义性，即对相同的输入智能得出相同的答案。
   （3）可行性：一个算法是可行的，即算法中描述的操作都是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。
   （4）输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。
   （5）输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出是与输入有某种特定关系的量。
3. 设计目标
   （1）正确性。算法应能够正确地解决求解问题。
   （2）可读性。算法应具有良好的可读性，以帮助人们理解。
   （3）健壮性。输入非法数据时，算法能适当地做出反应或进行处理，而不会产生莫名其妙的输出结果。
   （4）效率与低存储量要求。效率是指算法执行的时间，存储量需求是指算法执行过程中所需要的最大存储空间，这两者都与问题的规模有关。

算法效率的度量

一般用空间复杂度和时间复杂度度量。

时间复杂度

时间复杂度依赖于问题的规模n。算法中所有语句的频度之和记为T(n)，它是该算法问题规模n的函数，时间复杂度主要分析T(n)的数量级。算法中基本运算（最深层循环内的语句）的频度与T(n)同数量级，因此通常采用算法中最基本的频度发f(n)来分析算法的时间复杂度。因此，算法的时间复杂度记为：

T(n)=Of((n))

式中，O的含义是T(n)的数量级，其严格的数学定义是：若T(n)和f(n)是严格定义在正整数集合上的两个函数，则存在正常数C和n₀，使得n>n₀时，都满足0<=T(n)<=Cf(n)。
时间复杂度分类：

• 最坏时间复杂度
• 平均时间复杂度：指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间
• 最好时间复杂度
  一般都考虑在最坏情况下的时间复杂度。

分析时间复杂度的两规则：

• 加法规则
  T(n)=T₁(n)+T₂(n)=O(f(n))+O(g(n))=O(max(f(n),g(n)))
• 乘法规则
  T(n)=T₁(n)T₂(n)=O(f(n))O(g(n))=O(f(n)*g(n))

时间复杂度排序

O(1)<O(log₂n)<O(n)<O(nlog₂n)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

空间复杂度

定义为该算法所耗费的存储空间，它是问题规模n的函数。渐进空间复杂度也常简称为空间复杂度，记S(n)=O(g(n))。
算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即O(1)。

时间复杂度计算两类题型

循环主体中的变量参数与循环条件的判断

此类题应该找出主体语句中与T(n)成正比的循环变量，将之代入条件中进行计算。实例见书《王道2020——数据结构》P10。

循环主体中的变量与循环条件无关

此类题可采用数学归纳法或直接累计循环次数。多层循环时从内到外分析，忽略单步语句，条件判断语句，只关注主体语句的执行次数。实例均见《王道2020——数据结构》P11。

递归程序

一般使用公式进行递推。

非递归程序

直接累计次数。